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Alceo SELVI
IL LABORATORIO DI MATEMATICA
QUANDO I CONTI NON TORNANO

LE MOTIVAZIONI DIDATTICHE
Nei curricoli scolastici per la matematica di base l'uso di sussidi concreti è stato introdotto già da alcuni decenni. È avvenuto quando l'insegnamento di questa disciplina, ripudiando le strettoie di una didattica di stile esclusivamente formalistico-descrittivo, ha stabilito proficui collegamenti sia con la pedagogia, sia con la psicologia dell'età evolutiva.
Fra gli operatori scolastici, che attuano curricoli elementari di matematica, permangono però talvolta perplessità e riserve riguardo alle esperienze manipolative con materiali concreti. Sarà utile, quindi, prima di passare alla presentazione dei principali tipi di materiale, soffermarsi a considerare le ragioni di fondo che ne giustificano l'adozione, esplicitamente consigliata, tra l'altro, anche nei Programmi '85 per la Scuola Primaria [1].
Senza voler responsabilizzare in modo assoluto l'insegnamento tradizionale della matematica, si deve pur riconoscere che la gran parte degli allievi che formava rimanevano di frequente assai lontani dalla piena comprensione dei concetti di questa disciplina, anche se diversi di loro riuscivano a raggiungere un sufficiente addestramento nell'uso del simbolismo e nella relativa applicazione in alcune tecniche operative.
In quei casi era facile che nell'insegnante si formasse l'illusione che gli allievi fossero riusciti ad elaborare un determinato concetto, anche se poi, in effetti, molti non l'avevano compreso affatto, in quanto - come osserva Dienes - era stato realizzato un insegnamento basato fondamentalmente sul condizionamento, e non sulla facilitazione dell'apprendimento.
In alcune metodiche di tipo formalistico-descrittivo, presenti nell'insegnamento della matematica, spesso si ignorava un postulato di grande rilievo, che si colloca tra i fondamenti della moderna pedagogia. Non vi si considerava il fatto che le conoscenze di cui lo scolaro ha piena comprensione e che costituiscono gli strumenti intellettuali utili per operare un suo ulteriore avanzamento del pensiero, non sono quelle che gli vengono trasmesse in tutta compiutezza dall'insegnante o dai libri. Sono piuttosto quelle che lo scolaro conquista attraverso una ricerca personale, in cui egli sia in grado di esplicare liberamente la sua attività creativa.
Spesso, per di più, venivano trascurate le differenze individuali esistenti nel ritmo dell'apprendimento. Di frequente accadeva che, a seguito di una valutazione non oggettiva, un allievo veniva giudicato incapace di comprendere determinati concetti della matematica. Mentre, in realtà, in tali casi era assai probabile che l'allievo fosse un soggetto dotato di un meccanismo di astrazione più lento e che rimanesse quindi sopraffatto dalla incalzante presentazione di ulteriori concetti. In altre parole, l'insegnamento tradizionale tendeva ad imporre a tutti gli alunni uno stesso ritmo di apprendimento e spesso non teneva conto delle leggi psicologiche che governano i meccanismi individuali dei processi di formazione dei concetti.
L'indirizzo didattico che, ai giorni nostri, si va affermando e consolidando ritiene che si può porre rimedio ai gravi errori prodotti dall'insegnamento tradizionale soltanto se si dà la possibilità all'alunno di accostarsi alle conoscenze matematiche con un atteggiamento di tipo "concreto-costruttivo". Ciò implica che occorre sempre evitare di partire dalla fase della pura astrazione.
I concetti non vanno presentati, quindi, nella loro fredda compiutezza generalizzatrice, ma si deve aver cura di creare stimolanti e diversificate situazioni di apprendimento, nelle quali ciascun alunno sia messo in condizione di percorrere, secondo il proprio ritmo individuale, tutte le tappe necessarie per la costruzione del concetto [2].
In tale prospettiva si rende necessaria, pertanto, la conoscenza dei meccanismi di formazione del pensiero matematico e, più in generale, di quello logico astratto, tenendo quindi costantemente presenti i risvolti psicologici dell'apprendimento della matematica.
Le moderne ricerche di psicologia dell'età evolutiva, dedicate ai problemi dell'apprendimento matematico e condotte da psicologi che sono anche cultori di matematica e di logica, pur essendo ancora lontane dall'aver chiarito tutti i problemi attinenti alla psicologia dell'intelligenza, hanno tuttavia cominciato a far luce sui meccanismi di attivazione del pensiero astratto e sono pervenute ad alcune conclusioni che possono trovare feconde applicazioni didattiche.
Tra queste ricerche conserveranno ancora per molto tempo un valore preminente quelle, originalissime e fondamentali, realizzate dal grande psicologo ginevrino Jean Piaget. Ad esse ci si dovrà costantemente riferire, pur con qualche correzione di rotta determinata da alcuni più recenti risultati, per ogni ulteriore sviluppo dei problemi concernenti l'apprendimento della matematica di base. Piaget è stato il primo a mettere in evidenza che, anche se è vero che la formazione di un concetto matematico presuppone un certo grado di maturazione logica da parte del bambino, è altrettanto vero che tale concetto non è riducibile a pura logica, ma nasce dalla sintesi di schemi logicooperazionali, i quali, per potersi costituire a livello mentale, richiedono di essere interiorizzati mediante attività manipolative sul concreto.
Per esempio, il bambino è in grado di elaborare la nozione di numero intero naturale soltanto dopo aver preso coscienza, attraverso l'esperienza, di determinati schemi logico-operatori quali: la conservazione delle proprietà fisiche o numeriche nelle trasformazioni, l'inserimento delle parti nella totalità che si conserva, la corrispondenza uno ad uno, l'invarianza della quantità rispetto al cambiamento dell'ordine seriale, l'iterazione dell'unità nella formazione di quantità crescenti, ecc. [3]. Orbene, se si studia il comportamento del bambino durante il processo di organizzazione di uno di questi schemi operatori, per esempio quello dell'ordinamento, si ha modo di constatare quanto sia lungo e complesso tale processo e quanto sforzo richieda al bambino la costruzione di questo impegnativo itinerario mentale.
Quanto detto può essere meglio chiarito realizzando, a titolo esemplificativo, una tra le più classiche prove piagetiane. Si proponga a bambini, di differente età, di disporre in ordine alcune asticciole di lunghezze diverse. Se le asticciole differiscono notevolmente tra loro e sono quattro o cinque, anche un bambino di tre/quattro anni riesce a realizzare facilmente l'ordinamento, procedendo per tentativi. In questo caso, l'ordinamento stesso è ottenuto secondo uno schema d'azione di carattere empirico-spaziale, fondato sulla percezione delle disuguaglianze discriminate "a colpo d'occhio".
Se si presentano invece ai bambini dieci asticciole, sparse sul tavolo a caso, differenti un centimetro l'una dall'altra, con lunghezze che vanno da 10 a 19 centimetri, e si osserva con attenzione l'attività dei bambini stessi, si può immediatamente rilevare come l'ordinamento richieda l'attuazione di un complesso gioco di procedimenti operativi. Si potranno rilevare tre diversi livelli di abilità:
a) il bambino forma coppie di asticciole, senza riuscire però a coordinare tra loro le coppie da lui formate (intorno ai 4 anni);
b) il bambino costruisce prima piccole serie e riesce poi a coordinarle empiricamente, arrivando a realizzare l'ordinamento completo dopo numerosi errori e correzioni (5/6 anni circa);
c) il bambino arriva a determinare un metodo che gli consente di realizzare l'ordinamento senza errori e correzioni (intorno a 7 anni).
Il metodo consiste nello scegliere prima l'asticciola più corta (o più lunga) di tutte, mediante una serie di confronti a coppie, e poi nello scegliere la più corta (o la più lunga) tra quelle rimaste, e così di seguito, fino a costruire la successione crescente completa.
Perché un bambino arrivi a scoprire questo metodo, occorre però che egli abbia acquisito la consapevolezza che, per ogni scelta successiva che compie, l'asticciola presa sia la più corta tra tutte quelle rimaste e, nello stesso tempo, anche la più lunga rispetto a quelle già disposte in serie.
In sostanza, il bambino deve essere arrivato ad intuire le proprietà strutturali della relazione d'ordine ed avere imparato a concatenare tali proprietà.
Ossia, deve avere interiorizzato, sempre sul piano intuitivo, le regole di antisimmetria e di transitività delle disuguaglianze.
Dalle sommarie considerazioni ora formulate si può subito trarre una conclusione. Se l'edificio della matematica è fondato su schemi procedurali, occorre basare la didattica della matematica sulla progressiva organizzazione concreto-operazionale di tali schemi.
Bisogna tener conto che gli schemi procedurali, dal punto di vista psicologico, derivano da operazioni concrete che, nel momento in cui vengono interiorizzate, si coordinano in strutture di procedimenti d'azione. Pertanto i concetti della prima matematica vanno formati fondandoli su esperienze manipolative.
Sono non solo le osservazioni sul "concreto", ma anche, e soprattutto, le riflessioni compiute sulle azioni realizzate sul "concreto" che trasformano le percezioni sensoriali in valori indipendenti da quel "concreto", dando forma alle astrazioni generalizzatrici. Il "concreto", ossia quell'universo del sensibile già preconizzato da Maria Montessori e da Lei definito come il mondo delle astrazioni materializzate, nella didattica moderna della matematica ha acquistato dunque non una funzione puramente "contemplativa", bensì soprattutto una funzione operativo-relazionale, la quale, attraverso la interiorizzazione di schemi procedurali d'azione, conduce alla formazione delle strutture logiche e matematiche di base.
Nell'esperienza di ordinamento delle asticciole, proposta come esempio, il bambino astrae la struttura d'ordine non dagli oggetti in quanto tali. La astrae, invece, soprattutto dalla attività che egli esegue con esse, ossia dalle manipolazioni e dalle operazioni da lui compiute, in virtù delle quali è stato in grado di ordinare le asticciole stesse.
Da quanto detto possiamo dunque concludere che, per rendere costruttivo l'apprendimento matematico vanno proposte e fatte compiere al bambino opportune esperienze, basate sulla manipolazione di adatti materiali concreti.
Occorre però considerare che tali esperienze non sempre è possibile realizzarle con quel "concreto naturale" che può ritrovarsi nell'ambiente circostante.
Ragion per cui le esperienze vanno predisposte anche con "materiale artificiale", opportunamente strutturato, in modo che le attività di ricerca del bambino possano essere indirizzate verso quel tipo di schema operatorio che si è stabilito di formare in sede di programmazione didattica.
Siffatto materiale strutturato, infine, dovrà esser utilizzato, oltre che nei giochi collettivi, anche a livello di esperienze ludiche individuali, così da consentire a ciascun bambino di esplicare una propria attività, secondo il proprio, personale ritmo di lavoro e di apprendimento.
Presentiamo ora, in modo sintetico per ovvie ragioni di spazio, alcuni tipi di materiali strutturati che, nelle esperienze di questi ultimi decenni si sono dimostrati tra i più efficaci. Ci riferiamo ai Blocchi Logici, ai Blocchi Aritmetici Multibase, ai Numeri in Colore, al Geopiano

I BLOCCHI LOGICI
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In ogni confezione di Blocchi Logici sono contenuti 48 pezzi, di plastica o di legno, aventi le seguenyi caratteristiche:
- variabile forma, con uno dei quattro valori: quadrato, cerchio, triangolo, rettangolo;
- variabile colore, con uno dei tre valori: rosso, giallo, blu;
- variabile taglia, con uno dei due valori: grande, piccola;
- variabile spessore,con uno dei due valori: spesso, sottile.
Tenuto conto che ciascun Blocco è diverso dagli altri per almeno un valore di una variabile, ne risulta un complesso di 4 x 3 x 2 x 2 = 48 pezzi diversi.
Il pensiero logico, già a partire dalle sue più elementari articolazioni, si appoggia, più o meno consapevolmente, sui procedimenti operativi tipici proposti dalla teoria "ingenua" degli insiemi.
A conferma di ciò basta considerare che l'unità basilare del ragionamento è la proposizione esplicitamente formulata, ossia l'enunciato verbale.
L'enunciato serve a esprimere una relazione tra classi ed elementi e, in genere, è costituito da due parti fondamentali: il soggetto (o, argomento dell'enunciato) e il predicato, legati tra loro da un termine di relazione denominato copula. Come è poi noto, soggetto e predicato sono espressi, per lo più, da nomi comuni, da nomi propri o da attributi.
Orbene, mentre un nome proprio rappresenta un elemento singolo, un nome comune rappresenta una classe generale costituitasi per astrazione e riferibile a tutto un insieme di elementi. Anche un attributo rappresenta, per estensione, una classe: precisamente quella degli elementi che sono caratterizzati dalla proprietà che lo stesso attributo esprime.
Ecco due esempi di enunciati: "Il cane è un mammifero" e "Luigi è un quindicenne".
Nel primo enunciato "il cane" ,soggetto e nome comune, sta ad indicare l'intera classe dei cani, mentre "un mammifero", predicato e nome comune anch'esso, sta ad indicare l'intera classe dei mammiferi. Il meccanismo logico dell'enunciato, attivato dalla copula "è", significa che la classe espressa dal soggetto risulta essere inclusa nella classe espressa
dal predicato.
Nel secondo enunciato "Luigi", soggetto e nome proprio, indica un particolare elemento, il quale, a seguito del meccanismo logico attivato dalla "è", risulta appartenere alla classe delle persone "quindicenni", indicata dall'attributo-predicato.
L'analisi strutturale delle proposizioni, appena compiuta, vi ha messo in evidenza quindi alcune nozioni fondamentali trattate dalla cosiddetta "insiemistica", quali l'idea di classe (o insieme), quella di elemento, ed alcune relazioni che, nel linguaggio della teoria degli insiemi si esprimono come relazione di appartenenza di un elemento ad un insieme, e nella relazione di inclusione di un insieme in un altro.
Tra gli enunciati, che specificano classi e relazioni, possono intervenire, inoltre, composizioni operatorie quali la congiunzione, la disgiunzione (inclusiva o esclusiva) e la negazione. Tali operazioni logiche corrispondono, rispettivamente, alle operazioni insiemistiche di intersezione, di unione e di passaggio al complemento.
Le brevi considerazione formulate sono sufficienti per rendersi conto della importanza che assume, per la formazione logica e linguistica del bambino, una presa di coscienza delle strutture operatorie del pensiero , attuata mediante una opportuna educazione di tipo insiemistico. La quale, però, come precisano i Programmi di matematica per la Scuola Primaria, serve anzitutto per "la conquista della precisione e della completezza del linguaggio" naturale, e non per "l'introduzione degli interi naturali e delle operazioni aritmetiche" mediante "la simbolizzazione formale di operazioni logico-insiemistiche" [4].
Un materiale strutturato, di concezione molto semplice, che permette di adottare un metodo costruttivo e dinamico per l'approccio operativo ai fondamenti insiemistici, e quindi alla logica delle classi e successivamente a quella degli enunciati, è costituito dai Blocchi Logici, ideati in dimensione più estesa da L. S. Vygotsky e ridotti in seguito alla quantità attuale da Z. P. Dienes. Con essi è possibile organizzare vari esercizi preliminari, tutti sotto forma di giochi, tendenti a far conoscere ai bambini la struttura del materiale stesso.
I bambini si interessano volentieri all'uso dei Blocchi. Prima, mediante giochi di costruzioni libere, esplorano "l'ambiente percettivo" che è costituito da tale materiale. Prendono così conoscenza delle proprietà caratteristiche dei Blocchi stessi ed elaborano anche un codice verbale adatto a denominare e a comunicare le loro proprietà.
L'uso dei Blocchi è anche da consigliare per concretizzare una sorta di "memoria esterna", sulla quale appoggiare la narrazione di fiabe (quali, per esempio: I tre porcellini, I quattro suonatori di Brema, Tina e i tre orsi (cfr. Tavola 1 a pg.172)) o di racconti. Sequenze ordinate dei Blocchi possono servire anche per "visualizzare" la scansione ritmica di semplici canzoni .
I bambini cominciano poi a classificare i Blocchi mediante l'uso dei loro attributi. Li classificheranno per colore (per esempio: "prendere i Bloc-chi blu"), per forma (per esempio: "prendere i Blocchi tondi"). Possono cosi rendersi conto che, nell'universo dei Blocchi, una proprietà ("essere blu") individua una classe, o insieme. Passano in seguito a classificazioni di tipo più complesso, come quella, per esempio, che prende in considerazione simultaneamente sia un valore della variabile forma, sia un valore della variabile colore.
Un gioco molto utile consiste nel far scegliere ad un bambino due Blocchi qualsiasi, chiedendogli poi di precisare rispetto a quante e a quali proprietà differiscono i pezzi. Per esempio, un "rettangolo rosso, grande, spesso" differisce dal "triangolo blu, spesso, grande" rispetto a due proprietà, ossia la forma ed il colore, quindi i due Blocchi sono collegati tra loro tramite due somiglianze e due differenze.
Si potrà poi introdurre l'uso della negazione, facendo scegliere i pezzi che sono caratterizzati dal fatto di non possedere un determinato attributo.
Quando i bambini hanno preso dimestichezza con la struttura del materiale, si può passare a esercizi-gioco che mettano in evidenza in modo più esplicito l'organizzazione insiemistica dei Blocchi, facendo ricorso ai diagrammi di Eulero-Venn, di Carroll, oppure a grafici ad albero
Si dispongano ad esempio, sul tavolo due grandi cerchi di cartone aventi: uno l'etichetta "colore rosso" e l'altro l'etichetta "forma rettangolare".
I bambini collocheranno, all'interno del primo cerchio tutti, e soltanto, i Blocchi "rossi", e, all'interno del secondo, tutti, e soltanto, i Blocchi "rettangolari".
I pezzi che risultano essere né rossi, né rettangolari resteranno all'esterno di entrambi i cerchi.
I Blocchi "rettangolari e rossi" si dovranno evidentemente disporre in una regione comune ai due cerchi. L'attributo "rosso e rettangolare" si precisa, pertanto come congiunzione dei due enunciati: "il Blocco è rosso" e "il Blocco è rettangolare", che corrisponde alla intersezione dei due insiemi.
Analogo significato ha l'attributo "rettangolare, rosso e sottile", che corrisponde alla congiunzione di tre enunciati: "il Blocco è rosso", "il Blocco è rettangolare" e "il Blocco è sottile" e che nasce dalla intersezione di tre insiemi.
I bambini verranno così messi nella condizione di capire che, nell'universo dei Blocchi, per definire un insieme formato da un solo elemento, occorre definire un attributo quadruplo, ottenuto dalla congiunzione di quattro enun-ciati distinti. Capiranno inoltre che alcune congiunzioni di enunciati possono dar luogo ad insiemi vuoti; è il caso, per esempio, della congiunzione dei due enunciati: "il Blocco è tondo" e "il Blocco è rettangolare".
Successivamente gli enunciati potranno essere combinati per disgiunzione, che potrà risultare inclusiva, oppure esclusiva. Per esempio, con la disgiunzione: "il Blocco è rosso" o "il Blocco è rettangolare", l'insieme definito con l'attributo disgiuntivo: "di colore rosso o di forma rettangolare" nasce dalla unione dei due insiemi generati rispettivamente da ciascuno dei due precedenti enunciati, con i quali si effettua l'operazione di disgiunzione.
Se nella suddetta unione:
- si include anche l'intersezione degli attributi, si definirà la disgiunzione inclusiva degli enunciati, con la "o" che assumerà il significato del "VEL" della lingua latina (vedi la Fig. 1, in basso a sinistra);
- si esclude invece l'intersezione degli attributi, si definirà la disgiunzione esclusiva degli enunciati, con la "o" che assumerà il significato della "AUT" latina (vedi la Fig. 2, in basso a destra).
In questo secondo caso, non considerando, oltre ai Blocchi presenti nell'intersezione ("i rossi e rettangolari"), anche quelli del complemento della unione ("i non rossi e non rettangolari"), ci si rende conto che, prendendo nell'insieme rimasto un pezzo che non è rosso, esso sarà necessariamente rettangolare, o viceversa.

Pertanto l'insieme disgiuntivo esclusivo apre le porte ad una situazione di implicazione:
- se non rosso, allora rettangolare
- se non rettangolare, allora rosso
Con la disgiunzione esclusiva si perviene così al primo germe del ragionamento linguisticamente formalizzato.
Questi pochi cenni testimoniano l'efficacia dell'uso didattico dei Blocchi Logici. È evidente che essi dovrebbero avere spazio applicativo a partire dalla Scuola per l'infanzia e mantenerlo per tutta la Scuola Primaria. Ma potranno essere di grande utilità anche per alunni della Scuola Media, se questi, in precedenza, non hanno ricevuto un adeguato trattamento educativo finalizzato alla formazione di specifiche abilità logico-linguistiche

La gran parte parte degli alunni di 10/11 anni, addestrati all'uso dei numeri interi naturali, non fanno distinzione tra il puro concetto di numero ed il suo modo di rappresentarlo attraverso l'ordinario sistema di numerazione in base decimale.
Vi sono almeno due ragioni per le quali la struttura convenzionale del sistema di numerazione viene confusa con il puro concetto di numero.
Una dipende dallo strumento simbolico di comunicazione e di rappresentazione grafica, in relazione al modo con cui viene presentato ed utilizzato in situazione didattica, quando è in fase di formazione il concetto puro di numero naturale.
L'altra nasce dalla imposizione che vien fatta al bambino del sistema di numerazione decimale presentato come un "assoluto", ossia come l'unico mezzo possibile di rappresentazione dei numeri.
In tali circostanze, oltre alla confusione tra simbolo e concetto, ciò che viene a mancare al bambino è anche la comprensione che in un sistema di numerazione vi sono tre elementi che possono esser fatti variare: il coefficiente, la base e l'esponente, senza che, nel loro variare, venga ad esser modificata la struttura di rappresentazione in quello che è il suo fondamento essenziale, ossia il valore posizionale delle cifre numeriche.
Un materiale strutturato da proporre ai bambini nell'uso scolastico per compiere esperienze utili, sia a distinguere tra concetto di numero e simbolo del numero, sia ad astrarre il complesso principio di valore posizionale, è rappresentato dai Blocchi Aritmetici Multibase, raffigurati nella pagina precedente e noti anche sotto l'abbreviazione di B.A.M
Questo materiale, per lo più di legno, ma talvolta anche di plastica, è stato progettato da Z. P. Dienes, che, nel realizzarlo, si è però ispirato alle Perle Colorate delle potenze, ideate da Maria Montessori [4].
I Blocchi Multibase si trovano in commercio per lo più suddivise in scatole, ciascuna delle quali contiene pezzi che "materializzano" un particolare sistema di numerazione.
La quantità di legno dei pezzi di ciascun sistema cresce in progressione geometrica. Nel materiale della base tre, per esempio, partendo dal cubettounità, si passa poi al lungo (o base) costituito dall'assemblaggio di tre cubettiunità; dal lungo si passa poi al piatto (o quadrato) costituito a sua volta dall'unione di tre lunghi; c'è infine il blocco (o cubo) ottenuto con il congiungimento di tre piatti. In ogni pezzo, costituito da più cubettiunità, sono visibili le linee di separazione tra gli stessi cubetti-unità che lo compongono.
Scatole analoghe a quella della base tre contengono i pezzi che materializzano i sistemi di numerazione delle basi: quattro, cinque e dieci.
In ogni scatola si trovano pezzi di ciascun tipo in numero sufficiente per realizzare una vasta gamma di esperienze.
Il materiale è organicamente strutturato nella direzione del concetto di valore posizionale e dei concetti di base e di potenza, in modo da sollecitare il bambino a realizzare quelle esperienze che gli consentiranno di costruire gradualmente la struttura comune, soggiacente i diversi sistemi di numerazione.
Queste esperienze possono avere inizialmente il carattere di "giochi liberi", ovvero di attività di tipo indiretto miranti all'esplorazione delle caratteristiche del materiale e non direttamente finalizzate all'acquisizione dell'idea di valore posizionale [vedi illustrazione alla pagina seguente].
Seguirà una fase più spiccatamente operatoria, che conduca più direttamente alla razionale organizzazione della struttura implicata nella rappresentazione posizionale del numero.
Due bambini, per esempio, servendosi della scatola della base tre, possono realizzare la seguente attività.
Essi gettano alternatamente un dado, che, sulle facce opposte, riporta i numero 0, 1 e 2. Ciascuno dei due bambini ha il diritto di prendere dalla scatola un numero di pezzi di un certo tipo uguale al punteggio conseguito nel lancio. Il primo tiro vale per i blocchi, il secondo per i piatti, il terzo per i lunghi e il quarto per i cubetti-unità. Vince il bambino che raggiunge il maggior valore complessivo con tutti i pezzi conquistati nei quattro lanci del dado.
Con questo gioco i bambini si accorgono assai presto che vincitore della partita è sempre colui che va in vantaggio al primo tiro; e se il primo tiro risulta pari, la partita viene decisa dal secondo tiro, e così via. I bambini prendono così coscienza dell'importanza decrescente dei diversi tiri, ove ovviamente si mantenga la decisione di partire con il maggior valore nel primo tiro e di andare verso valori decrescenti nei tiri successivi.
In un secondo tempo sarà opportuno invertire l'ordine dei tiri e cominciare con quello relativi ai cubetti-unità, terminando con quello relativo ai blocchi. In questa nuova partita si potrà scoprire che essa verrà decisa soltanto all'ultimo tiro.
L'inversione del gioco insegnerà ai bambini che l'ordine seguito per i tiri non ha alcuna importanza in se stesso, poiché a determinare la vincita sarà in ogni caso il tiro effettuato per i blocchi. E' evidente che giochi simili possono, anzi dovrebbero, essere eseguiti anche con il materiale delle altre scatole.
Un'altra interessante esperienza per la comprensione dell'idea di valore posizionale è la seguente. Si dica ai bambini di prendere una certa quantità di cubetti-unità dalla scatola della base tre, per esempio trentasette (Fig. 1). Se cominciano a raggrupparli a tre a tre, formeranno dodici mucchietti che potranno essere sostituiti con altrettanti lunghi. Rimarrà, però, un cubettounità libero, in quanto non raggruppato (Fig. 2). I lunghi ottenuti, raggruppati a loro volta a tre a tre, consentiranno la costruzione di quattro gruppi, senza che si abbiano lunghi non raggruppati.
Questi quattro gruppi potranno essere sostituiti, a loro volta, da quattro piatti (Fig 3). Con questi si potrà formare un gruppo di tre, sostituibile con un blocco, e rimarrà un piatto non raggruppato (Fig. 4).

I bambini verificheranno che questo procedimento porta ad un risultato univocamente determinato dalla quantità iniziale dei cubetti-unità. A questo punto i bambini stessi potranno essere invitati a rappresentare in una tabella la situazione ottenuta, nel modo seguente:

Ancora una volta va ricordato che è consigliabile far ripetere ai bambini esercizi dello stesso tipo con scatole di materiale relative a basi diverse e, da ultimo, ovviamente, con la scatola della base dieci. Pertanto si faranno prendere di nuovo trentasette cubetti-unità dalla scatola della base quattro e si chiederà di procedere con già fatto; poi si faranno prendere trentasette unità dalla scatola della base cinque ... e così di seguito fino alla base dieci. Si avranno le seguenti notazioni numeriche:

Queste esperienze, esplicitamente richieste dai Programmi di Scuola Primaria [5], sono assai importanti. Consentono ai bambini di distaccarsi dalla concretezza del materiale e di rappresentare mentalmente la Struttura comune ai diversi sistemi di numerazione, nel modo in cui sono rappresentati dal materiale contenuto nelle scatole. Offrono altresì la possibilità di estendere, per trasferimento, tale struttura ad una qualsiasi altra base diversa.
I bambini prendono in questo modo coscienza che esistono diverse maniere per scrivere uno stesso numero, diverse maniere che rispettano però la stessa struttura; e ciò sarà senz'altro assai utile per generare, nei bambini stessi, forme di pensiero fluido, aperto e produttivo.

La scatola dei Regoli Cuisenaire-Gattegno, comunemente conosciuti con il nome di Numeri in Colore contiene un insieme di piccoli regoli di legno, o di plastica, a forma di parallelepipedi rettangolari di varie lunghezze (da 1 a 10 cm), aventi tutti la sezione di un centimetro quadrato. In ogni scatola si trovano più pezzi di ciascun tipo. Tutti i pezzi della stessa lunghezza hanno anche lo stesso colore e ad ogni lunghezza corrisponde un colore particolare [vedi Tavola 7 alla pagina precedente].
I colori e le lunghezze dei regoli non sono, però, associati casualmente. I contrasti e le diverse gradazioni di colore servono da "indicatori", che aiutano a cogliere e a rammentare le relazioni astratte che i Numeri in Colore intendono rappresentare. Il regolo lungo un centimetro è bianco ed entra un numero intero di volte in tutti gli altri. Quello lungo sette centimetri è nero, per sottolineare la sua singolarità nella serie. Con diverse gradazioni di uno stesso colore fondamentale sono caratterizzate poi tre "famiglie" di regoli, tra i quali intercorrono le seguenti relazioni evidenti:
- "famiglia dei rossi" - i regoli: rosso (2 cm), amaranto (4 cm), marrone (8 cm);
- "famiglia dei blu" - regoli: verde chiaro (3 cm), verde sc. (6 cm), blu (9 cm);
- "famiglia dei gialli" - regoli: giallo (5 cm) e arancio (10 cm).
I Numeri in Colore, ideati dal belga Cuisenaire come sussidio per l'insegnamento introduttivo all'aritmetica nelle scuole per l'infanzia e primaria, sono stati poi studiati, con intendimento scientifico-pedagogico più ampio, da Caleb Gattegno, matematico inglese, che ne ha indicato molteplici utilizzazioni, anche a livello di scuola secondaria. Secondo Gattegno questi Regoli forniscono al bambino una "tastiera" per la ricerca matematica; e, come in un pianoforte, quantunque i tasti disponibili riguardino soltanto una solo "nota" ciascuno, tuttavia si ha la possibilità di costruire con essi molteplici "accordi" diversi, ovvero di cogliere relazioni diverse.
Oggi si ha la consapevolezza che ci si può avvicinare alla matematica solo a condizione che si prenda coscienza di certe relazioni strutturali fondamentali presenti nella disciplina. Orbene Gattegno assicura che anche con i Numeri in Colore è possibile far nascere nei bambini l'attitudine a costruire la matematica stessa. Invitiamo a riflettere sull'opinione di Gattegno a questo riguardo, riportando alcuni brani tratti da un suo saggio [6].
"Se si lascia giocare un bambino con i Numeri in Colore, egli non tarderà a riconoscere tre strutture fondamentali della matematica:
1. - le relazioni di equivalenza "avere lo stesso colore" e "avere la stessa lunghezza"; e poichè, per costruzione, i Regoli che hanno lo stesso colore hanno anche la stessa lunghezza, esiste correlazione tra queste due relazioni di equivalenza o, come si dice in matematica, esse sono isomorfe. In aggiunta a ciò la nozione di insieme quoziente è subito colta allorchè il bambino si accorge di poter rappresentare, a mezzo di un solo regolo di un certo colore, tutta la classe di equivalenza costituita dai regoli che hanno quello stesso colore.
2. - le relazioni d'ordine, vale a dire il fatto che, prendendo due regoli A e B a caso nell'insieme, il bambino può dire se A è uguale a B, o se A differisce da B; e quando accetta di chiamare A più piccolo di B, o viceversa, egli lega queste parole alla percezione della disuguaglianza. Una tale comparazione tra i regoli diventa più profondamente strutturata allorchè il bambino può combinare coppie di disuguaglianze per realizzare un insieme transitivo di proposizioni: se A < B e B < C allora A < C , e così via. Non solamente l'insieme dei Regoli è Ma vi sono coppie costituite da regoli diversi che, per lunghezza, sono tra loro equivalenti riguardo alla misura di un regolo rispetto all'altro. E sono precisamente le coppie (A, B) e (A', B'), quando A' = K A e B' = K B , con K intero. Si dice, allora, che essi costituiscono una classe di equivalenza. È il caso, ad esempio, dei regoli (1, 3), ossia: bianco, verde chiaro, dei regoli (2, 6), ossia: rosso, verde scuro, e dei regoli (3, 9), ossia: verde chiaro, blu.
Così, analogamente, se partiamo dalla coppia (2, 5) (ossia: rosso, giallo) le coppie (2 rossi, 2 gialli), (3 rossi, 3 gialli), ....... sono tutte equivalenti tra loro e, numericamente, si esprimono con:
(2, 5) = (4, 10) = (6, 15) = .....
Inoltre, partendo da due coppie equivalenti (A, B) e (C, D), se ne possono ottenere altre, anch'esse equivalenti per addizione e sottrazione o, in generale, per combinazione lineare dei termini di sinistra e dei termini di destra: (m A + n C, m B + n D). Si dice che ogni classe di equivalenza costituisce un numero razionale. Ossia, ciascuna coppia, appartenente ad una classe, è rappresentante del numero razionale e si chiama frazione. Ragion per cui si può
adottare la notazione:
(1, 3) = (2, 6) = (3, 9) = .......
Oppure nella notazione ordinaria:
1/3 = 2/6 = 3/9 = .......
che esprime anch'essa la classe di equivalenza da identificare con il numero razionale 1/3 . Tener ovviamente presente che il segno "uguale" mette in relazioni le frazioni ma non va riferito alle frazioni stesse. Esse, come numeri, sono diverse, per cui l'uguale va riferito allo stesso rapporto che tutte quante esprimono.

ordinato, ma risulta tale anche un qualsiasi suo sottinsieme.
3. - le relazioni algebriche, che risultano dalla introduzione di una operazione sull'insieme dei Regoli. Ogni bambino spontaneamente sarà portato a combinare i Regoli in maniere diverse per ottenere una straordinaria varietà di schemi colorati. Se egli prende coscienza che due regoli, messi in fila uno dopo l'altro, possono sostituire, quanto alla lunghezza, un altro regolo, o due diversi altri messi insieme, egli ha implicitamente introdotto un'algebra sull'insieme.
Un'algebra rappresentata dal segno + e con alcune proprietà evidenti, quali la commutatività e l'associatività: A + B = B + A ; (A + B) + C = A + (B + C)."
Queste parole di Gattegno diverranno certamemte più persuasive alla luce di qualche esempio. Ne scegliamo uno tra i più significativi: lo studio delle frazioni. In generale, misurando un regolo per mezzo di un altro, non si ottiene come risultato un numero intero. Per esprimere questa misura si è condotti a formare delle coppie ordinate e si adotterà la notazione (A, B) per la coppia dei regoli dei quali B misura A ( A/B ) [7]. Una coppia di Regoli può essere quindi interpretata come frazione, che esprime un rapporto. Invertendo l'ordine della coppia di regoli si ha: (B, A) (ossia: A misura B , o B/A ), e si ottiene la frazione-rapporto inversa della precedente.

Il Geopiano, ideato dal matematico e pegagogista inglese Caleb Gattegno quale strumento per favorire esperienze di geometria, ha confermato, attraverso una trentennale sperimentazione, la sua efficacia didattica a diversi livelli di apprendimento. Di geopiani ne esistono diversi tipi: sono tavolette di legno sulle quali sono infissi chiodini disposti secondo vari reticoli, isometrici oppure no. In genere sono realizzati con reticoli di quadrati, formati da 9, 16, 25, o più chiodi, oppure con reticoli di triangoli equilateri. Vi sono però anche geopiani con reticolo di ottagono, di decagono e di dodecagono regolari.
Se si tendono elastici colorati tra i loro chiodini, si può realizzare la rappresentazione di situazioni geometriche di natura talmente varia da permettere lo studio di numerosi problemi riguardanti le forme geometriche, le loro dimensioni, le simmetrie e le similitudini.
Come ha scritto lo stesso Gattegno [8], chi non ha remore a servirsi di una lavagna per tracciarvi figure con il gesso, non può aver ragioni per opporsi all'impiego del geopiano, sul quale le figure vengono realizzate con limpida evidenza, a mezzo di elastici tesi su un insieme di chiodini. È da tener presente, però, che, rispetto alla lavagna, il geopiano offre almeno due considerevoli vantaggi:
1. poichè è facilmente maneggevole, gli si può far assumere una qualsiasi posizione. Ciò consente all'alunno di esaminare ogni figura da angoli di visuale diversi e di prendere così consapevolezza che alcune proprietà figurali risultano essere indipendenti da ciascuna posizione assunta dalla figura stessa;
2. sul geopiano non si disegna: si tendono elastici, si spostano e, in tal modo, la figura desiderata si ottiene immediatamente. Ed è proprio questa facilità, con la quale si costruiscono e si trasformano le figure, che stimola l'alunno a ricercarne le loro proprietà, che promuove il dinamismo del suo pensiero, che affina le sue capacità intuitive.
Per descrivere alcune possibilità di impiego dei geopiani, si può cominciare a prendere in considerazione quello a reticolo di quadrati costituiti da 25 chiodini [Tav. 9 - Fig. 1], che si presta ad un rilevante numero di applicazioni.
Èben nota la difficoltà dei bambini a riconoscere un trapezio i cui lati paralleli siano disposti verticalmente, o un rombo le cui diagonali non siano disposte una orizzontale e l'altra verticale, come solitamente le si vede dise-gnate in un libro a sulla lavagna. Un esercizio molto efficace per superare queste difficoltà può essere quello di costruire tutti i quadrilateri consentiti dal reticolo e di farne la classificazione passando prima dalle proprietà generali a quelle particolari, e poi dalle proprietà particolari alle generali.
La possibilità, che il geopiano offre, di trasformare le figure, consente, per esempio, di scoprire che un trapezio può essere trasformato facilmente in parallelogramma [Tav. 9 - Fig. 2] e che il parallelogramma va quindi considerato come "doppiamente trapezio".
Sempre sul geopiano a rete di quadrati si possono affrontare interessanti situazioni problematiche relative alle aree e ai perimetri dei poligoni, situazioni che si possono facilmente risolvere ma che sono riferibili a rimarchevoli esperienze matematiche. Per esempio, dopo aver realizzato un poligono tendendo un elastico tra più chiodi, è possibile valutarne l'area in vari modi, per somma o per differenza, assumendo come unità di superficie il piccolo quadrato compreso tra quattro chiodini [Tav. 9 - Fig. 3]. Oppure di possono costruire poligoni aventi una superficie prestabilita, per esempio di 2 quadratiniunità.
Il bambino rimarrà certamente soprpreso delle numerose possibilità offerte, per questo caso, dal geopiano [Tav. 9 - Fig. 4].
Se tra i suddetti poligoni di ugual superficie ci si limita a considerare i triangoli, si scopre che riducendo la base ad 1/2, 1/4, .... , l'altezza deve corrispondentemente diventare doppia, quadrupla, .... [Tav. 9 - Fig. 5], e che si può conservare la stessa base a condizione di conservare anche la stessa altezza [Tav. 9 - Fig. 6].
La visione contemporanea di poligoni di ugual superficie conduce naturalmente a mettere in relazione i perimetri con le aree. Il bambino scopre che figure di uguale superficie non hanno tutte lo stesso perimetro, e che figure di uguale perimetro non hanno tutte la stessa superficie. Sorgono subito, così, questioni di massimo e di minimo: per esempio nella famiglia di triangoli equiestesi, rappresentata nella Fig. 6 di Tav. 9, ve ne è uno di perimetro minimo: quello isoscele. Similmente nella famiglia di quadrilateri equiestesi di Fig. 4, sempre in Tav. 9, anche qui ve ne è uno di perimetro minimo: è la figura regolare, ossia il quadrato. Il geopiano offre veramente innumerevoli possibilità.
Le Figure 7 e 8 di Tav. 9 mostrano come lo si possa utilizzare efficacemente anche per un primo studio delle simmetrie assiali e centrali.

NOTE:
[1] Ministero della Pubblica Istruzione, Programmi didattici per la Scuola Primaria, Istituto Poligrafico dello Stato, Roma, 1985. Nel capitolo dedicato alla matematica, alla pag. 37, vi si legge: "Nel conseguimento dei diversi obiettivi è importante procedere in modo costruttivo e significativo, fornendo agli alunni una adeguata base manipolatoria e rappresentativa. Ciascun alunno va messo in condizione di utilizzare, inizialmente, materiali diversi, comuni o strutturati, che forniscano adeguati modelli dei concetti matematici implicati nelle varie procedure operative."
[2] Z. P. Dienes, Le sei tappe del processo di apprendimento in matematica, Giunti-O.S., Firenze, 1971.
[3] J. Piaget, A. Szeminska, La genesi del numero nel bambino, La Nuova Italia, Firenze, 1976.
[4] M. Montessori, Psicoaritmetica, Garzanti, Milano, 1971, pag. 211 e segg.
[5] Ministero della Pubblica Istruzione, op. cit. Alla pag. 38 vi si legge:
Cura particolare va posta sia nella acquisizione del complesso concetto di numero naturale, sia nella formazione della capacità di rappresentarlo nel sistema di scrittura decimale, con riferimento al valore posizionale delle cifre e al significato e all'uso dello zero. A tale scopo può risultare vantaggiosa l'introduzione di sistemi di numerazione diversi da quello decimale per la notazione multibase di tali numeri.
[6] C. Gattegno, L'étude de l'arithemétique à l'aide de la couleur associée à la longueur. La méthode Cuisenaire, in " Le courrier de la recherche pédagogique", 1956.
[7] In questa scrittura compare una linea di frazione il cui significato non è quello di divisione tra numeri, ma solo di espressione del rapporto tra grandezze.